LES SYMBOLES

Je ne peux que renvoyer à "Intelligence Mathématique" pour l'explicitation détaillée des symboles, dont il faut simplement retenir qu'ils ne représentenet que des outils linguistiques propres à actualiser en conscience des objets ou à activer des outils logiques et mathématiques. En soulignant que ce sont ces unités en conscience qui nous intéressent exclusivement. De ce point de vue, on remarquera combien il est absurde d'énoncer en dehors de tout sens préalable qu' : "une lettre appartient à une autre lettre".
Il en va de même de leur codification qui répond aux nécessités d'une utilisation formelle rigoureuse. J'ai ainsi introduit le soulignement pour bien différencier les effectuations formelles dans c des indications en langage basique. J'ai choisi le soulignement pour une utilisation papier/stylo, au détriment de procédés certainement typographiquement plus élégants tels que le numérique nous en offre à foison.
Il importe absolument de retenir que tout symbole mathématique est nécessairement pourvu d'un statut opératoire spécifique qui gouverne son mode d'emploi.

De même que la préexistence de l'œuf ou de la poule ne sera pas débattue, nous nous en tiendrons au fait que termes et relations n'existent pas les uns sans les autres.

DIFFÉRENTS "TERMES"

Nous en distinguerons 4 sortes :

Les termes constants

Ils doivent conserver le même sens à l'intérieur du discours logique considéré.

Ce sont les seuls qui peuvent figurer dans une relation à laquelle nous pourrons affecter le statut de vrai.

Les termes contextuels

Ils appartiennent au langage basique. Ils délimitent le domaine de constance des termes constants au sein d'une démonstration ou d'une argumentation.

En réalité, ce domaine ne peut qu'être flou (et souvent largement implicite). L'impératif de constance des termes considérés n'est conservé qu'au prix d'une rétroaction permanente entre le sens du terme contextuel et celui du terme constant.

Les termes indéterminés

Ce sont des outils marque-place, destinés à être remplacés par des termes constants.

Dans la littérature mathématique usuelle, ce sont les "x" "y, z, etc." affublés de vocables divers : variables, inconnues, etc.

Les termes quantiques

Ce sont les termes liés aux quantificateurs il existe et pour tout.

Leur utilisation impose la présence, implicite mais agissante, de l'opérateur humain. Ils possèdent un statut opératoire dual de constants et d' inconnus.

Terme constant

Il porte bien mal son nom puisque sa constance est tout à fait relative ! Son statut opératoire de constant ne concerne que les composantes de son sens sélectionnées et requises dans le contexte d'un discours logique donné. Au sein de cette séquence l'invariabilité du sens doit être rigoureuse.
On peut noter avec amusement que cette contrainte est souvent volontairement transgressée lors d'argumentations politiques ou juridiques. Le politicien ou l'avocat change plus ou moins subtilement le sens des mots au cours d'un discours pseudo-logique, ce qui retire évidemment toute valeur à sa prétendue démonstration.

Ce statut opératoire va désigner un objet ; objet de pensée au sens le plus large imaginable. Il s'agit d'une émergence individuelle issue d'un nœud relationnel complexe, et évolutif. Il ne peut jamais s'agir d'une donnée élémentaire : il n'en existe pas !
Notre connaissance du monde réel passe, plus ou moins consciemment ou inconsciemment, par des concepts abstraits et des intégrations subjectives d'acquis sensoriels : il n'y a donc aucune différence véritablement fondamentale de nature entre les termes constants censés actualiser en conscience des objets matériels et ceux validés ou reconnus en tant que concepts abstraits ; mais surtout : aucune différence de traitement logique.
Nous verrons, à propos du sens, la structure génétique et évolutive du terme constant, ses corrélations avec (peut être) tous les autre termes, ses multiples facettes significatives qui ne se dévoilent qu'en fonction de l'attention portée au cours de séquences formelles dans c.
Nous ne sommes pas équipés pour manipuler la totalité de nos connaissances en bloc. Proclamer l'indépendance de concepts entre eux, alors qu'à priori il sont tous interdépendants, n'aurait aucun sens. Pourtant nous ne pouvons traiter que de relations entre termes bien individualisés ; i.e. reconnaissables et distinguables. Cette stratégie de l'intelligence nous est imposée. Nous devons faire avec : ce qui impose d'en avoir conscience afin de relativiser les résultats de nos réflexions et de nos démonstrations. Ainsi nous ne pouvons que, et en même temps nous devons, concevoir l'acte de donner un nom à un concept en tant qu'acte créateur. Nous décidons ainsi de retenir, en tant qu'individualité manipulable, le résultat d'une synthèse, dont les racines se perdent dans C ; au moins temporairement dégagée des contingences de ses liens avec les autres termes. Il s'agit bien là d'un postulat, c'est à dire d'un pari sur sa pertinence... Sans oublier son aspect contractuel qui impose de pouvoir remettre ce postulat en question quand le besoin s'en fait sentir.
La Nature, la façon dont nos cerveaux fonctionnent, nous oblige ainsi à extraire du simple, au sens d'unitaire, d'un magma complexe enfoui dans l'inconscient. En conscience, nous ne pouvons appréhender que le résultat de cette extraction, pour ensuite agir dessus ou avec. En général, il faut reconnaître que l'on sous-estime largement l'engagement conceptuel consenti à l'occasion de la nomination d'un terme constant. Pourtant, en cas d'incohérences ultérieurement rencontrées, c'est bien la validité globale des processus, ayant engendré les concepts, qu'il importe de réexaminer. La structure nominative assure la circulation de nos idées, en l'inscrivant dans des routines qui s'avèrent d'autant plus difficiles à remettre en question qu'elles n'ont peut être jamais été explicitées consciemment. Ou dans un cadre simplificateur. Par exemple, toutes les notions physiques : masse, temps ,énergie, distance, etc. sont utilisées couramment (et avec succès le plus souvent) avec un sentiment d'évidence acquise ; mais si l'on dépasse le cadre des applications pratiques usuelles, bien des questions fondamentales se posent, notamment sur leurs interdépendances, voire sur la pertinence même du concept !

Notons déjà que l'interdépendance globale des termes entre eux, interdépendance acquise dans l'inconscient, nous impose (devrait nous imposer !) une cohérence globale. Chaque nouveau théorème modifie le sens des termes. Si des contradictions se font ainsi jour, on ne peut que modifier ou remplacer les concepts concernés... Ce qui rétroagit sur tout le système et devrait nous imposer des révisions en cascades... Se laisser aller à introduire des concepts douteux, ou contradictoires entre eux, doit être considéré comme un acte intellectuel suicidaire.

Termes contextuels

Ils appartiennent exclusivement au langage basique car ce n'est pas un statut opératoire, et ces termes ne sauraient figurer dans des développements soulignés, c'est à dire dans des séquences logiques formalisées. Leur fonction n'en demeure pas moins de toute première importance. Elle consiste à permettre de fixer la constance des caractéristiques constitutives des termes constants sur lesquelles porte l'attention au sein du discours logique considéré. Les indications qu'ils fournissent sont le plus souvent largement implicites : elles suffisent à renvoyer à un domaine d'utilisation consensuel et correct. Il ne s'agit pas de légiférer d'une manière rigoureuse et absolue mais de se doter de repères utilitaires pour garantir la constance des termes au sein du discours. C'est cet impératif qui doit être préservé, au prix notamment de rétroactions qui vont affiner "à la demande" le sens des termes contextuels en fonction de ce besoin.
Il faut également retenir que selon le discours considéré un terme habituellement contextuel peut être traité en tant que terme constant. Son sens sera alors confiné par d'autres termes contextuels...

En langage basique, presque tous les mots abstraits de portée (trop) générale sont des termes contextuels. (Liberté, égalité, fraternité, vérité, etc.) On sait très bien ce qu'ils véhiculent lorsqu'ils s'appliquent à des situations particulières. Par contre, disserter sur leur sens intrinsèque n'est pas d'un grand intérêt.
La confusion entre la réflexion sur le terme en tant qu'objet du discours et le terme en tant que terme contextuel est une erreur commise par de nombreux philosophes. Attention ! Je ne suis pas en train d'attaquer pour autant la philosophie. Au contraire : étant donné qu'aucun terme ne peut se prévaloir d'être primitif et qu'aucun axiome ne s'impose rationnellement : en amont de leur introduction s'impose une réflexion relevant de l'argumentation non contraignante. La rhétorique, au sens donné par C. Perelman et L.O. Tyteca dans leur traité de l'argumentation : "La nouvelle rhétorique", ne peut qu'être sollicitée avant la prise des décisions axiomatiques et nominatives. Les buts stratégiques qui vont inspirer la méthodologie à construire se discutent. Certains revendiquent la Mathématique comme une œuvre d'art en soi dont l'esthétisme n'a que faire d'une utilité quelconque (Cf. Le mathématicien Hardy ), d'autres (platoniciens) se voient comme les explorateurs de quelque chose qui existe déjà dans "l'éther" ; personnellement je la veux comme une stratégie explicite de l'intelligence qu'il s'agit de construire lucidement au mieux.
Autre exemple : dans "Intelligence Mathématique", Théorie est un terme contextuel de première importance, mais ne saurait être utilisé comme terme constant ; pour configurer des structures par exemple...

Termes indéterminés

Ce sont des outils mathématiques, entièrement définis par leur nom (en général une simple lettre), marque-places dans les assemblages, destinés à être remplacés par un terme constant. J'ai nommé proposition une relation dans laquelle figure un (ou plusieurs) terme indéterminé. En effet, seule une relation, où par définition ne figurent que des termes constants, est susceptible d'être qualifiée de "vraie". L'attribution du statut de vrai à une relation représentant notre instrument logique fondamental.
Une fois de plus il faut regretter l'absence totale de rigueur quant aux appellations usuelles en mathématique. Il faut, une fois pour toutes, réserver les mots correspondant à un statut opératoire à un usage précis et parfaitement normé ; et se satisfaire d'un seul mot !
Ainsi, le statut proposition doit exclusivement être réservé à une relation où un ou plusieurs termes indéterminés sont substitués à des termes constants qui y figurent.

Termes quantiques

Ce sont des termes duaux associés aux quantificateurs il existe et pour tout. Ils imposent la présence psychologique du penseur lors de leur utilisation. Ils permettent de s'affranchir de cette inanité que constitue "l'axiome de choix". On ne dénoncera jamais assez l'ineptie de ce soi-disant axiome. Voulant conserver à tout prix une prétention à l'objectivité on a inventé une recette (de mauvaise cuisine !) qui relève de l'opération du saint-esprit.
L'introduction justifiée des termes quantiques n'est pas difficile en soi, mais elle exige cependant l'assimilation de quelques préalables mathématiques (simplement les premières bases élémentaires de la logique, rien de techniquement difficile...). Ceux qui, pour ce faire, accepteront de se plonger un peu dans "Intelligence Mathématique" ne le regretteront pas, car cette étape ouvre les portes d'une aventure passionnante.
Ce n'est que la réponse au problème posé par le fait que lorsqu'on énonce : "Il existe un x tel que..." le discours s'arrête là ! Pour se servir concrètement de cette existence il faut considérer un terme dont on connaît l'existence mais qui demeure inconnu, et prétendre que l'on sera capable de le reconnaître et de le distinguer dans les développements démonstratifs ultérieurs...
Je ne développerai donc pas davantage ces concepts sur le site "Intelligencevivante.fr".

Je rappelle simplement que David Hilbert avait certainement parfaitement saisi le problème posé par cette réponse maladroite que représente un "axiome de choix" (sic) et inventé pour ce faire le τ de Hilbert , repris par Bourbaki et qui permet de configurer l'ancètre de mes termes quantiques. Tel que présenté par Bourbaki , ce " τ " mène à une impasse logique ; ce que nos "logisticiens modernes" n'ont pas manqué de remarquer, sans se soucier de la pertinence du problème appréhendé par Hilbert . La prise en compte psychologique du mathématicien, pourtant déjà défendue par Henri Poincaré , représentait à l'évidence un pas que Bourbaki n'était pas près de franchir.
L'introduction nécessaire de la présence psychologique du mathématicien pour résoudre ce problème essentiel démontre l'inadéquation du cadre formaliste faussement objectivisant qui s'est imposé actuellement. Et qu'il convient de remanier fondamentalement.

RELATIONS et THÉORÈMES

Relation est un statut opératoire. Les relations se construisent d'abord entre termes constants liés par des signes relationnels spécifiques (comme l'appartenance ou l'égalité, par exemple) ; ces relations "primaires" pouvant ensuite être liées entre elles par des signes logiques (le "non", le "ou", et leurs dérivés : le "et", l'implication, l'équivalence).
Ne peuvent donc y figurer que des termes constants.
Quand on accorde le statut de vrai à une relation on lui confère le statut opératoire de théorème.
NB: C'est le sens exclusif qu'il faut donner à théorème : celui de relation vraie.
(En rappelant que l'accord de "vraie" ne se fait que pour se conformer aux usages du langage basique, car il est question ici d'un statut mathématique et non pas de l'adjectif !)

VRAI

NB: En logique mathématique vrai n'est pas un adjectif comme en langage basique ! Notamment, son adjectif contraire faux n'existe pas. " Vrai " est un statut opératoire accordé à une relation que l'on qualifie alors de " théorème ".
Bourbaki a fort justement fait remarquer que sans abus de langage : " tout texte mathématique deviendrait pédantesque et illisible". Il demeure malgré tout regrettable que l'on utilise l'adjectif " faux " pour qualifier la négation d'une relation A : c'est à dire non A théorème .

Les démonstrations mathématiques ne sont rien d'autre qu'une suite de théorèmes inscrites dans un discours logique précisé par un Énoncé . Le dernier théorème obtenu étant celui que l'on cherchait à démontrer. Ce que l'on signale en général par un cri de victoire : "cqfd", qui indique ainsi au lecteur que la démonstration est achevée... ( Et satisfaisante, du moins aux yeux du concepteur...)

Ce qui est important c'est de noter que la stratégie intellectuelle adoptée consiste à ne retenir que les relations reconnues comme vraies, c'est à dire qualifiées de théorèmes . On ne se prononce en aucun cas sur les autres relations. Leur négation peut être vraie, leur vérité peut n'être que pas encore démontrée, elles peuvent être indécidables, elles peuvent n'avoir aucun sens, etc. On les délaisse ou on les oublie. Volontairement. Ainsi, les reproches de manques de nuances, souvent formulés par des littéraires qui se rendent compte avec justesse que très souvent on ne saurait se prononcer par "vrai" ou "faux", ne sont pas pertinents. La stratégie logico-mathématique se restreint volontairement aux acquisitions jugées certaines ; certaines tant que les axiomes explicites ou implicites n'induisent pas de contradictions...
André Maurois disait que :"Nos fautes sont vouées à l'oubli, c'est tout ce qu'elles méritent." Qu'il s'agisse de fautes, d'insuffisances, d'imprécisions ou d'idées éthérées, c'est cette démarche assumée de mise à l'écart que nous adoptons vis à vis des relations sur lesquelles nous ne pouvons statuer.

Je précise dés maintenant que "principe du tiers exclu" ou "tables de vérités" ne sont valables que lorsqu'on manipule des relations reconnues décidables. L'objet bien compris de la Théorie des Ensembles, telle que je l'ai conçue, étant justement de délimiter convenablement ces domaines... Et non pas de tranférer d'une façon aventureuse notre intuition des collections finies aux Ensembles infinis.

MÉTHODOLOGIE DES ÉNONCÉS

Il s'agit de préciser le domaine de signification et de validité d'un théorème.
La formulation d'un Énoncé est de la forme : " Soient(ou Si)... ; Alors : théorème .
L' Énoncé actualise des déterminations (précisées ou potentiellement représentées) munies d'un statut opératoire précisé (termes constants, indéterminés, relations, propositions, etc.) liées entre elles par la figuration dans des assemblages communs ou par des théorèmes et qui sont utilisées pour établir un théorème .
Les ressources du langage basique, termes contextuels et abus de langages usuels compris, peuvent aider à configurer l'ensemble des conditions interdépendantes ainsi réalisées qui constituent le domaine de validité du théorème .
Ainsi, le théorème est acquis dès lors que les déterminations de l' Énoncé satisfont aux conditions mutuelles imposées. L'application à des déterminations particulières s'opère par reconnaissance globale pure et simple.

On ne devrait pas confondre Énoncé et théorème !

C'est malheureusement le cas chez la plupart des mathématiciens qui utilisent "théorème" pour parler d'un "Énoncé".
À partir du moment où l'on décide d'utiliser le vocable théorème pour désigner le statut opératoire d'une relation " vraie " il est regrettable de le confondre avec les conditions de l' Énoncé . Même s'il va de soi que l'expression et la validité d'un théorème exigent un ensemble de conditions préalables, ce manque de rigueur contribue à masquer un élément fondamental de la démarche logico-mathématique où vrai est un statut opératoire et non pas un adjectif. C'est bien pour cela que le vocable théorème pour désigner une relation vraie est particulièrement judicieux !
Théorème signifie ainsi : relation vraie au sein d'une Théorie et d'un Énoncé donné. On doit l'utiliser exclusivement et uniquement dans cette acception. C'est le statut opératoire d'une relation " vraie " ; adjectif qui ne sera pas utilisé en mathématique.